গণিত দিয়ে ছবি আঁকা

গণিতের কথা শুনে প্রথমেই মনে আসে কাঠখোট্টা সব হিসাব-নিকাশের কথা। কিন্তু গণিতেরও যে একটি শৈল্পিক দিক আছে, গণিত দিয়ে ছবি আঁকা যায়, একথা হয়তো অনেকেই জানি না। ‘গণিত দিয়ে ছবি আঁকা’র আজকের পর্বে স্থানাংক ব্যবহার করে আমরা প্রজাপতি আঁকাবো।

১

শুরুতে ইচ্ছেমত কিছু ছবি আঁকা যাক। এজন্য দরকার একটি গ্রাফ কাগজ আর পেন্সিল অথবা কাছে যদি কোনো গ্রাফিং ক্যালকুলেটর থাকে, সেটি নিয়ে আঁকতে শুরু করুন।

পাশের ছবিটি দেখুন। এটি একটি লেখচিত্র। সমীকরণে x অথবা y এর বিভিন্ন মান বসিয়ে ছবিটি আঁকা হয়েছে। গণিতের ভাষায় লেখচিত্রটির বিশেষ একটি নাম আছে। একে বলা হয় sextic plane curve.

চিত্রঃ  y6 = x2 – x6

প্রথম ছবিটি আঁকার জন্য আমরা কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবহার করেছি। দ্বিতীয় ছবিটি আমরা আঁকবো পোলার স্থানাংক (polar coordinate) ব্যবহার করে। কার্তেসীয় স্থানাংকের চেয়ে পোলার স্থানাংকের ব্যবহারে আমরা কিছুটা সুবিধা পাবো।

চিত্রঃ r = esinθ– 2cos(4θ) + sin5[1/24(2θ-π)]

দ্বিতীয় সমীকরণটিকে নিচের মতো করেও লেখা যায়। এদের বলে পরামিতিক (parametric equation) সমীকরণ।

x = sin t [ecost – 2cos(4t) + sin5(1/12 t)]
y = cos t [ecost – 2cos(4t) + sin5(1/12 t)]

২

প্রজাপতি সমীকরণঃ r(θ) = constant + sum {A sin(mθ)} + sum {B cos(nθ)}

এখানে A ও B হচ্ছে sine ও cosine ফাংশনের সহগ। এদের মান হিসেবে যেকোনো বাস্তব সংখ্যা ব্যবহার করতে পারি আমরা। m ও n যথাক্রমে একটি বিজোড় ও জোড় সংখ্যা। এদের মানও ইচ্ছামত বসিয়ে নেয়া যায়। আবার sine কিংবা cosine ফাংশনের সংখ্যা বাড়িয়ে কমিয়ে ছবিটিতে নতুনত্ব আনা যেতে পারে।

চিত্রঃ r(θ) = 8 – sin(θ) + 2sin(3θ) + 2sin(5θ) – sin(7θ) + 3cos(2θ) – 2cos(4θ)

ছবিটি প্রজাপতি সমীকরণ ব্যবহার করে আঁকা হয়েছে। এখানে ধ্রুবকের মান 8। লক্ষ্য করুন sine ফাংশনের কোণকে বিজোড় সংখ্যা আর cosine ফাংশনের কোণকে জোড় সংখ্যায় লিখেছি। দুটিকে পাল্টা-পাল্টি করেও নেয়া যায়। তবে আপাতত আমরা এই নিয়মটিই অনুসরণ করবো। ধ্রুবক আর সহগ হিসেবে যে সব সময় পূর্ণসংখ্যাই নিতে হবে, এমন কোনো ধরাবাঁধা নিয়ম নেই। এছাড়া কোণের মানও আপাতত পূর্ণসংখ্যাতেই লিখবো।

৩

প্রজাপতি সমীকরণ ব্যবহার করে ইতোঃমধ্যে একটি ছবি এঁকেছি আমরা। এবার সমীকরণে কিছুটা পরিবর্তন এনে ছবি আঁকা শিখবো। নিচের ছবিগুলো দেখুন। প্রতিটি ছবির সাথেই একটি করে সমীকরণ যুক্ত করেছি। প্রতিক্ষেত্রে সমীকরণের মানগুলো কিছুটা বদলে দেয়ায় ভিন্ন ভিন্ন ছবি পেয়েছি আমরা। পরিবর্তনগুলো লক্ষ্য করুন।

১. r(θ) = 7 – 0.5sin(θ) + 2.5sin(3θ) + 2sin(5θ) – 1.7sin(7θ) + 3cos(2θ) – 2cos(4θ) – 0.4cos(16θ)
২. r(θ) = 9 – 0.5sin(θ) + 2.5sin(3θ) + 2sin(5θ) – 1.7sin(7θ) + 3cos(2θ) – 2cos(4θ) – 0.4cos(16θ)
৩. r(θ) = 12 – 0.5sin(θ) + 2.5sin(3θ) + 2sin(5θ) – 1.7sin(7θ) + 3cos(2θ) – 2cos(4θ) – 0.4cos(16θ)

৪. r(θ) = 7 – sin(θ) + 2sin(3θ) + 2sin(5θ) – sin(7θ) + 0.4sin(9θ) – 0.4sin(25θ) + 3cos(2θ) – 2cos(4θ) – 0.2cos(26θ)
৫. r(θ) = 9 – sin(θ) + 2sin(3θ) + 2sin(5θ) – sin(7θ) + 0.4sin(9θ) – 0.4sin(25θ) + 3cos(2θ) – 2cos(4θ) – 0.2cos(26θ)

৬. r(θ) = 11 – sin(θ) + 2sin(3θ) + 2sin(5θ) – sin(7θ) + 0.4sin(9θ) – 0.4sin (25θ) + 3cos(2θ) – 2cos(4θ) – 0.2cos(26θ)
৭. r(θ) = 13 – sin(θ) + 2sin(3θ) + 2sin(5θ) – sin(7θ) + 0.4sin(9θ) – 0.4sin (25θ) + 3cos(2θ) – 2cos(4θ) – 0.2cos(26θ)
৮. r(θ) = 6 – 1.2sin(θ) + 2sin(3θ) + 2sin(5θ) – sin(7θ) + 0.8sin(9θ) – 0.3sin(11θ) + 4.8cos(2θ) – 2cos(4θ) + 0.5cos(8θ)
৯. r(θ) = 8 – 1.2sin(θ) + 2sin(3θ) + 2sin(5θ) – sin(7θ) + 0.8sin(9θ) – 0.3sin(11θ) + 4.8cos(2θ) – 2cos(4θ) + 0.5cos(8θ)
১০. r(θ) = 10 – 1.2sin(θ) + 2sin(3θ) + 2sin(5θ) – sin(7θ) + 0.8sin(9θ) – 0.3sin(11θ) + 4.8cos(2θ) – 2cos(4θ) + 0.5cos(8θ)

সবগুলো সমীকরণে উপাদান সংখ্যা একই (নয়টি করে) আছে। তবে ধ্রুবকের মানের পরিবর্তন করা হয়েছে। আর ধ্রুবকের সাথে সহগগুলোরও সঙ্গতি থাকা চাই। এজন্য সহগগুলোর মানেও কিছুটা পরিবর্তন এসেছে। প্রজাপতির লেখচিত্রগুলো নির্ভর করেছে মূলত ধ্রুবকের মানের উপর।

প্রথম তিনটি প্রজাপতির ছবি লক্ষ্য করুন। এখানে ধ্রুবক পদের মান 7, 9 ও 12। ১ নম্বর প্রজাপতিকে (যার ধ্রুবকের মান 7) অন্য দু’টির চেয়ে সুন্দর দেখাচ্ছে। তৃতীয় প্রজাপতিটি (যার ধ্রুবকের মান 12) বেশ স্থূল। এভাবে ধ্রুবকের মান বাড়িয়ে প্রজাপতির আকার পরিবর্তন করা যায়। তবে খুব বেশি বাড়াবেন না যেন, ধ্রুবকের মান ১০০ বা ২০০ হলে অনেকটা বৃত্তের মতো দেখাবে প্রজাপতিকে।

এবার ৪ থেকে ৭ নম্বর প্রজাপতির কথায় আসি। এখানে ধ্রুবকের মান 7, 9, 11 ও 13। লক্ষ্য করুন ধ্রুবকের মান যতই বাড়ানো হয়েছে, প্রজাপতিটাকে ততোই পেশীবহুল মনে হচ্ছে!

৮ থেকে ১০ নম্বর প্রজাপতির জন্য ধ্রুবক পদের মান 6, 8 ও 10। ধ্রুবকের মান বাড়ানোর সাথে প্রজাপতির মাথার অংশটিও দৃশ্যমান হচ্ছে।

৪

ধ্রুবকের মানে পরিবর্তন এনে যেমন আকার পরিবর্তন করা যায়, তেমনি কোণের মান পরিবর্তন করেও সুবিধামত আকার পাওয়া যায়। তবে sine আর cosine এর কোণের মান অদল-বদল করলে ছবিটি অপ্রতিসম হবে। পাশের ছবিতে তেমনি একটি প্রজাপতি দেখা যাচ্ছে, যার ডানা দু’টি ভিন্ন রকম। এর কারণ sine এর একটি ফাংশনে কোণের মান জোড় সংখ্যা (10θ) ব্যবহার করা হয়েছে।

r(θ) = 7 – 1.2sin(θ) + 2sin(3θ) + 2sin(5θ) – sin(7θ) + 0.8sin(10θ) – 0.3sin(11θ) + 4.8cos(2θ) – 2cos(4θ) + 0.5cos(8θ)

৫

এখন আমরা অপ্রতিসম লেখচিত্রে সহগের মান পরিবর্তন করব। একটি সহগের সাথে অন্য সহগগুলোর অনুপাত যত কম হবে, ছবিটি ততোই নিখুঁত হবে। অর্থাৎ অপ্রতিসমতা সহজে বোঝা যাবে না।

r(θ) = 7 – 1.2sin(θ) + 2sin(3θ) + 2sin(5θ) – sin(7θ) + 0.8sin(10θ) – 0.3sin(11θ) + 4.8cos(2θ) – 2cos(4θ) + 0.5cos(8θ)
r(θ) = 7 – 1.2sin(θ) + 2sin(3θ) + 2sin(5θ) – sin(7θ) + 0.8sin(9θ) – 0.3sin(10θ) + 4.8cos(2θ) – 2cos(4θ) + 0.5cos(8θ)
r(θ) = 7 – 1.2sin(θ) + 2sin(3θ) + 2sin(5θ) – sin(6θ) + 0.8sin(9θ) – 0.3sin(11θ) + 4.8cos(2θ) – 2cos(4θ) + 0.5cos(8θ)

r(θ) = 7 – 1.2sin(θ) + 2sin(3θ) + 2sin(5θ) – sin(7θ) + 0.8sin(9θ) – 0.3sin(11θ) + 4.8cos(2θ) – 2cos(4θ) + 0.5cos(8θ) + 0.5cos(9θ)
r(θ) = 7 – 1.2sin(θ) + 2sin(3θ) + 2sin(5θ) – sin(7θ) + 0.8sin(9θ) – 0.3sin(8θ) + 4.8cos(2θ) – 2cos(4θ) + 0.3cos(9θ

৬

শুধু পূর্ণসংখ্যা নয়, ভগ্নাংশকেও কোণের মান হিসেবে ব্যবহার করা যায়। তবে এক্ষেত্রে একটির বেশি প্রজাপতির ছবি পাবো আমরা। প্রতিটি ছবি একেকটি স্তরে তৈরি হবে এবং স্তরগুলোর উপরিপাতন ঘটবে। প্রতিটি স্তরকে আমরা ট্রেস বলবো। ডাবল-ট্রেস প্রজাপতি আঁকার জন্য অন্তত একটি কোণের মানে পূর্ণ সংখ্যার সাথে 0.5 যোগ করতে হবে। অর্থাৎ কোনো পূর্ণসংখ্যাকে 2 দিয়ে ভাগ করতে হবে। যেমনঃ 1.5 (বা, 3/2), 2.5 (বা, 5/2)।

r(θ) = 8 – 1.2sin(θ) + 2sin(3θ) + 2sin(5θ) – sin(7.5θ) + 0.8sin(9θ) – 0.3sin(11θ) + 4.8cos(2θ) – 2cos(4θ) + 0.5cos(8θ)

ছবিতে আমরা একটি ডাবল-ট্রেস প্রজাপতি দেখতে পাচ্ছি। দু’টি প্রজাপতির ছবি উপরিপাতিত হয়েছে বলে একে ডাবল-ট্রেস বলে। লক্ষ্য রাখতে হবে কোণের মান যেন মূলদ সংখ্যা হয়। কেননা অমূলদ সংখ্যার জন্য কোন লুপ তৈরি হবে না। অর্থাৎ ছবির শুরু আর শেষ প্রান্ত একসাথে মিলবে না।

r(θ) = 8 – 1.2sin(θ) + 2sin(3θ) + 2sin(5θ) – sin(7θ) + 0.8sin(9θ) – 0.3sin(11θ) + 4.8cos(2θ) – 2cos(4θ) + 0.8cos(13.2θ)

ট্রিপল-ট্রেস প্রজাপতির ছবি আঁকতে হলে পূর্ণসংখ্যার সাথে 0.3 যোগ করতে হবে। অর্থাৎ একটি পূর্ণ সংখ্যাকে 3 দিয়ে ভাগ করতে হবে। যেমন: 5/3, 7/3।

এভাবে আমরা যতগুলো ট্রেস চাইবো, একটি পূর্ণসংখ্যাকে তত দিয়ে ভাগ করতে হবে। তবে কোণের মান অবশ্যই 0 থেকে 2nπ এর মধ্যে রাখা চাই।

৭

প্রজাপতির ডানায় যেকোনো ধরনের বৈচিত্র্য আনতে পারি আমরা। ধরা যাক, আমরা চাইছি প্রজাপতির ডানা সুষম না হয়ে খাঁজকাটা হবে। এমনটা করতে হলে কোণের মান অনেক বেশি নিতে হবে। কোণের মান যত বাড়াবো, খাঁজের সংখ্যা তত বাড়তে থাকবে। এছাড়া সহগের মানও আমরা বাড়াতে পারি। তবে সহগের মান বাড়ালে খাঁজ সংখ্যা বাড়বে না। বরং প্রতিটি খাঁজ আরো দৃশ্যমান হবে। অর্থাৎ খাঁজের গভীরতা বেড়ে যাবে।

r(θ) = 7 – sin(θ) + 2sin(3θ) + 2sin(5θ) – sin(7θ) + 0.2sin(69θ) + 3cos(2θ) – 2cos(4θ)
r(θ) = 7 – sin(θ) + 2.5sin(3θ) + sin(5θ) -0.4sin(121θ)+ 3cos(2θ) – 2cos(4θ) + 0.7cos(80θ)

৮

বিভিন্ন রকম প্রজাপতি সমীকরণ দেখলাম আমরা। প্রতিটি সমীকরণ তৈরি করেছি মূল সমীকরণে বিভিন্ন মান বসিয়ে। পাশাপাশি ফাংশনের পরিবর্তন করেও প্রজাপতি সমীকরণ তৈরি করা যায়। যেমন: sin θ’র পরিবর্তে  বসিয়ে, cos θ এর পরিবর্তে  বসিয়ে। তবে এক্ষেত্রে লক্ষ্য রাখতে হবে ফাংশনটি যেন পর্যাবৃত্ত (Periodic) হয় এবং এর কোনো asymptotes না থাকে।

আজ এ পর্যন্তই। তবে গণিত দিয়ে ছবি আঁকার কিন্তু এখানেই শেষ নয়। গণিতবিদেরা তাদের সৌখিন খেয়ালের বশে তৈরি করেছেন এমন মজার আরো অনেক সমীকরণ। যেগুলো ব্যবহার করে তৈরি করা যায় অদ্ভুত সব প্রতিকৃতি। ইচ্ছা হলে আপনিও হতে পারেন সৌখিন এক গণিত শিল্পী!