0! = 1 কেন?

এইচএসসি লেভেল পার করে আসা আমরা প্রায় সবাই জানি, 0! = 1. এখন কথা হলো, 0! = 1 কেন? কীভাবে?

আমি নিজে যখন এইচএসসিতে ছিলাম, তখন এই প্রশ্নটা আমাকে বেশ ভালোই যন্ত্রণা দিতো। আমি ভাবতাম, কোনো সংখ্যার ফ্যাক্টরিয়াল মানে যদি হয় 1 থেকে শুরু করে সেই সংখ্যা পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর গুণফল (যেমন 3! = 6, 2! = 2, 1! = 1), তাহলে 0! মানে কী হয়? তাহলে তো 0! মানে হয় 1 থেকে শুরু করে 0 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর গুণফল। কিন্তু এটা আবার কীভাবে সম্ভব? আর এর রেজাল্টই বা কী করে 1 হয়? আমি সত্যিই বুঝতাম না।

বইয়ে গাণিতিকভাবে এটা একভাবে প্রমাণ করে দেওয়া ছিলো বটে, যে 0! = 1, কিন্তু আমার কেন যেন সেটা মানতে খুব কষ্ট হতো। আর কষ্ট হবেই বা না কেন? গাণিতিকভাবে একটা জিনিসের প্রমাণ দেখে মেনে নেওয়া আর জিনিসটা মন থেকে, ভেতর থেকে বুঝা বা feel করাটা যে মোটেও এক জিনিস না।

এরপর অনেক পরে এসে ব্যাপারটা জেনেছি, বুঝেছি, ফিল করেছি (এবং শান্তি পেয়েছি)। আমার ধারণা, হয়তো আমার মতো অনেকের মনেই এই ঝামেলাটা ঘুরেছে বা এখনও ঘুরে। যাতে ভবিষ্যতে আর না ঘুরে, তাই এই লেখাটা।

শুরু থেকেই বলি। যদি n একটা স্বাভাবিক সংখ্যা হয়, তখন n এর factorial কে n! দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যেখানে- n! = n ×(n-1)×(n-2)×…. ×3×2×1

যেমনঃ
2! = 2×1 = 2
3! = 3×2×1 = 6
4! = 4×3×2×1 =24
একইভাবে, 1! = 1

সবই ঠিক আছে। কিন্তু তাহলে 0! = 1 হয় কীভাবে?

Factorial এর সংজ্ঞানুযায়ী আমরা লিখতে পারি,

n! = n×(n-1)×…..×3×2×1
বা, n! = n×(n-1)!
.’. (n-1)! = n!/n………(১)
(১) এ n=1 বসিয়ে পাই,
(1-1)! = 1!/1
বা, 0! = 1/1
সুতরাং, 0! = 1

আসলে এটা আরও অনেকভাবে দেখানো যায়। যেমনঃ গামা ফাংশনের সংজ্ঞা থেকে জানি,
Gama(s) = (s-1)!
s=1 বসিয়ে পাই,
Gama(1) = (1-1)!
বা, 0! = Gama(1)
কিন্তু Gama(1) = 1
সুতরাং, 0! = 1

কিন্তু এসব তো গাণিতিক প্রমাণ। ব্যাপারটা তো এখনও feel করা গেল না।

পারমুটেশনের ধারণা থেকে এটা ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। একটা সেটের উপাদানগুলো নিয়ে যদি আমরা ভিন্ন ভিন্ন বিন্যাসে সজ্জিত করি তাহলে ঠিক কত উপায়ে সেটি করা যাবে? এটা আসলে নির্ভর করবে সেটের উপাদান সংখ্যার উপর। যেমন, ধরা যাক, একটা সেটের উপাদান গুলো হলো a, b, c. উপাদানগুলোকে বিভিন্ন বিন্যাসে সাজালে পাওয়া যায়- (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a)। এছাড়া আর কোনো বিন্যাস সম্ভব নয়।

এখানে দেখা যায় একটা সেটের তিনটা উপাদানের জন্য ছয়টা বিন্যাস পাওয়া যায়। একইভাবে, চারটি উপাদানের জন্য ২৪টি, পাঁচটি উপাদানের জন্য ১২০টি, ছয়টি উপাদানের জন্য ৭২০টি ইত্যাদি।

অর্থাৎ একটা সেটের উপাদান n হলে এর উপাদানগুলোর বিন্যাস সংখ্যা হবে n! (মূলত বিন্যাসের এই ধারণা থেকেই factorial এর উৎপত্তি।) আমরা জানি কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা ভগ্নাংশ কিংবা ঋণাত্মক হতে পারে না; কিন্তু শূন্য হতে পারে। আর তাই n, 0 এর জন্যও সংজ্ঞায়িত।

তাহলে ব্যাপারটা কী দাঁড়ালো? ব্যাপারটা দাঁড়ালো এই যে, আমরা অনেকেই ফ্যাক্টরিয়াল ব্যাপারটা ভুলভাবে শিখি। কোনো সংখ্যার ফ্যাক্টরিয়াল মানে আসলে 1 থেকে শুরু করে সেই সংখ্যা পর্যন্ত গুণফল না; প্রকৃতপক্ষে কোনো সংখ্যার ফ্যাক্টরিয়াল মানে হলো ঐ সংখ্যক জিনিসকে মোট কতভাবে বিন্যস্ত করা যায় সেটা। কি? ব্যাপারটা ধরতে পেরেছেন তো?

আমার মনে হয় এবার বুঝা যাবে যে কেন 0! = 1

ইতোপূর্বে দেখানো হয়েছে যে কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে এর বিন্যাস সংখ্যা হবে n! যদি একটা সেটের উপাদান 10 হয়, তাহলে এর উপাদানগুলোকে 10! ভাবে সাজানো যাবে। যদি কোনো সেটে একটা মাত্র উপাদান থাকে, তাহলে এর কেবল একটা বিন্যাসই পাওয়া যাবে। এখন কথা হলো, যদি কোনো উপাদান না থাকে, তাহলে এর বিন্যাস সংখ্যা কত?

যদি কোনো সেটের উপাদান না থাকে, তখন সেটাকে আমরা ফাঁকা সেট বলি। লক্ষ্য করুন, এটি অবশ্যই একটা সেট। উপাদান না থাকলেও এর অস্তিত্ব আছে। আর তাই এরও বিন্যাস থাকতে হবে। অর্থাৎ এর বিন্যাস সংখ্যা শূন্য নয়। তাহলে সেটি কত?
উত্তর খুবই সোজা! আপনি নিজেই বলুন, ফাঁকা সেটকে আপনি কতভাবে সাজাতে/বিন্যস্ত করতে/দেখতে পারবেন? উত্তর হলো, একভাবেই (উপাদানবিহীন একটা সেট হিসেবে)!

তাহলে 0 টা উপাদানের একটা সেটকে আপনি ভিন্ন ভিন্ন কতভাবে দেখতে পারলেন? 1 ভাবেই! আর তাই 0! = 1