ফাঁকা সেটের পাওয়ার সেট ফাঁকা নয়

ফাঁকা সেটের পাওয়ার সেট ফাঁকা নয়। হ্যাঁ, কারণ বলছি।

আমরা সবাই সেটতত্ত্বের একটি উপপাদ্যের সাথে পরিচিত যে, n-সদস্যবিশিষ্ট কোনো সেটের পাওয়ার সেটের সদস্য সংখ্যা 2n (মানে, 2-এর n-তম ঘাত অর্থাৎ 2 to the nth power)।

নিঃসন্দেহে ফাঁকা সেটের উপাদান সংখ্যা n=0। তাহলে সদ্য উদ্ধৃত উপপাদ্যমতে আমরা পাই যে, ফাঁকা সেটটির পাওয়ার কিংবা শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা =2n=20=1. তার মানে, পাওয়ার সেটটি ফাঁকা তথা {} কিংবা Ø নয় বরং এর একটি উপাদান আছে। কথা হলো যে, তাহলে সেই উপাদানটি কী?

প্রথমতঃ পাওয়ার সেটের সংজ্ঞায় আসি। কোনো একটি সেটের সকল উপসেটগুলোর (প্রকৃত ও অপ্রকৃত) সেটকে ঐ সেটের পাওয়ার সেট বলে। এখান থেকে একটা ব্যাপার লক্ষ্য করা যাক, পাওয়ার সেটের একেকটি উপাদান নিজেই একেকটি সেট। আবার সেটতত্ত্বের আরেকটি প্রাথমিক উপপাদ্য বলে যে, যেকোনো সেট P নিজেই নিজের উপসেট। তাহলে এই উপপাদ্যমতে, আমাদের আলোচ্য ফাঁকা সেটের (যার পাওয়ার সেট আমরা বের করতে চাচ্ছি) একটি উপসেট হলো Ø কিংবা {} এবং এই লেখার শুরুতে বর্ণিত প্রথম উপপাদ্য মতে এটিই একমাত্র উপসেট। তাহলে এই উপসেট Ø নিয়ে গঠিত সেট {Ø} কিংবা {{}}-ই আমাদের নির্ণেয় পাওয়ার সেট।

পরিশেষে বলব যে, ফাঁকা সেট Ø কিংবা {}-এর পাওয়ার সেট ফাঁকা নয় তথা Ø কিংবা {} নয় বরং পাওয়ার সেটটি হবে {Ø} কিংবা {{}}, যা একটি এক-উপাদানবিশিষ্ট সেট তথা একপদী সেট।